Ejemplos
jueves, 23 de febrero de 2017
lunes, 20 de febrero de 2017
Clase 10/02//2017
Definición de Integral de Línea de primera especie
Definición de Integral de Línea de segunda especie
Ejemplo de primera y Segunda especie
sábado, 4 de febrero de 2017
Clase 03/02/2017
Integral de línea
Una función vectorial definida en
diferenciable y acotada en 
la parametrización de una trayectoria en
Se llama integral de línea de F sobre 
a la integral:
Una integral de línea acumula elementos a lo largo de una curva.
El concepto de integral se puede extender a dominios de integración más generales, tales como las líneas curvas y las superficies. Estas integrales se conocen como integrales de línea e integrales de superficie respectivamente. Tienen importantes aplicaciones en la física cuando se trata con campos vectoriales.
Una integral de línea es una integral donde la función a integrar es evaluada a lo largo de una curva. Se utilizan varias integrales curvilíneas diferentes. En el caso de una curva cerrada también se la denomina integral de contorno.
La función a integrar puede ser un campo escalar o un campo vectorial. El valor de la integral curvilínea es la suma de los valores del campo en los puntos de la línea, ponderados por alguna función escalar de la curva (habitualmente lalongitud del arco o, en el caso de un campo vectorial, el producto escalar del campo vectorial por un vector diferencial de la curva). Esta ponderación distingue las integrales curvilíneas de las integrales más sencillas definidas sobreintervalos.
La integral de línea tiene varias aplicaciones en el área de ingeniería, y una de las interpretaciones importantes para tales aplicaciones es el significado que posee la integral de línea de un campo escalar.
En matemática, una integral de línea o curvilínea es aquella integral cuya función es evaluada sobre una curva. En el caso de una curva cerrada en dos dimensiones o del plano complejo, se llama también INTEGRAL DE CONTORNO.
Ejemplos prácticos de su utilización pueden ser:
- El cálculo de la longitud de una curva en el espacio;
- El cálculo del volumen de un objeto descrito por una curva, objeto del que se posee una función (campo escalar) que describe su volumen a lo largo de la curva;
- Ó también para el cálculo del trabajo que se realiza para mover algún objeto a lo largo de una trayectoria teniendo en cuenta campos de fuerzas (descritos por campos vectoriales) que actúen sobre el mismo.
Una función vectorial definida en diferenciable y acotada en la parametrización de una trayectoria enSe llama integral de línea de F sobre a la integral:
Una forma más utilizada para expresar la integral de línea teniendo en cuenta que el vector diferencial de curva también se pude expresar así:
Entonces después de resolver el producto punto obtenemos:
EJERCICIOS
miércoles, 1 de febrero de 2017
Clase 28/01/2017
Campos Vectoriales
Divergencia, rotacional, interpretación geométrica y física
En cálculo vectorial, un potencial vectorial es un campo vectorial cuyo rotacional es un campo vectorial. Esto es análogo al potencial escalar, que es un campo escalar cuyo gradiente negativo es también un campo vectorial.
Formalmente, dando un campo vectorial v, un potencial vectorial es un campo vectorial A tal que
Si un campo vectorial v admite un potencial vectorial A, entonces de la igualdad
(la divergencia del rotacional es cero) se tiene
lo cual implica que v debe ser un campo vectorial solenoidal. Una pregunta interesante es si cualquier campo vectorial solenoidal admite un potencial vectorial. La respuesta es afirmativa si el campo vectorial satisface ciertas condiciones.
Teorema
Sea
un campo vectorial solenoidal el cual es dos veces diferenciable. Asumamos que v(x) decrece suficientemente rápido cuando ||x||→∞. Definamos
Entonces, A es un potencial vectorial para v, esto es,
Una generalización de este teorema es la descomposición de Helmholtz la cual establece que cualquier campo vectorial puede descomponerse como una suma de campo vectorial solenoidal y un campo vectorial no rotacional.
Formalmente, dando un campo vectorial v, un potencial vectorial es un campo vectorial A tal que
Si un campo vectorial v admite un potencial vectorial A, entonces de la igualdad
(la divergencia del rotacional es cero) se tiene
lo cual implica que v debe ser un campo vectorial solenoidal. Una pregunta interesante es si cualquier campo vectorial solenoidal admite un potencial vectorial. La respuesta es afirmativa si el campo vectorial satisface ciertas condiciones.
Teorema
Sea
un campo vectorial solenoidal el cual es dos veces diferenciable. Asumamos que v(x) decrece suficientemente rápido cuando ||x||→∞. Definamos
Entonces, A es un potencial vectorial para v, esto es,
Una generalización de este teorema es la descomposición de Helmholtz la cual establece que cualquier campo vectorial puede descomponerse como una suma de campo vectorial solenoidal y un campo vectorial no rotacional.
Campos Vectoriales Conservativos
Ejemplo
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