Divergencia, rotacional, interpretación geométrica y física
En cálculo vectorial, un potencial vectorial es un campo vectorial cuyo rotacional es un campo vectorial. Esto es análogo al potencial escalar, que es un campo escalar cuyo gradiente negativo es también un campo vectorial.
Formalmente, dando un campo vectorial v, un potencial vectorial es un campo vectorial A tal que
Si un campo vectorial v admite un potencial vectorial A, entonces de la igualdad
(la divergencia del rotacional es cero) se tiene
lo cual implica que v debe ser un campo vectorial solenoidal. Una pregunta interesante es si cualquier campo vectorial solenoidal admite un potencial vectorial. La respuesta es afirmativa si el campo vectorial satisface ciertas condiciones.
Teorema
Sea
un campo vectorial solenoidal el cual es dos veces diferenciable. Asumamos que v(x) decrece suficientemente rápido cuando ||x||→∞. Definamos
Entonces, A es un potencial vectorial para v, esto es,
Una generalización de este teorema es la descomposición de Helmholtz la cual establece que cualquier campo vectorial puede descomponerse como una suma de campo vectorial solenoidal y un campo vectorial no rotacional.
Formalmente, dando un campo vectorial v, un potencial vectorial es un campo vectorial A tal que
Si un campo vectorial v admite un potencial vectorial A, entonces de la igualdad
(la divergencia del rotacional es cero) se tiene
lo cual implica que v debe ser un campo vectorial solenoidal. Una pregunta interesante es si cualquier campo vectorial solenoidal admite un potencial vectorial. La respuesta es afirmativa si el campo vectorial satisface ciertas condiciones.
Teorema
Sea
un campo vectorial solenoidal el cual es dos veces diferenciable. Asumamos que v(x) decrece suficientemente rápido cuando ||x||→∞. Definamos
Entonces, A es un potencial vectorial para v, esto es,
Una generalización de este teorema es la descomposición de Helmholtz la cual establece que cualquier campo vectorial puede descomponerse como una suma de campo vectorial solenoidal y un campo vectorial no rotacional.
Campos Vectoriales Conservativos
Ejemplo
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